Transformée de Laplace \(L_X\) d'une v.a. \(X\) à valeurs dans \([0,+\infty]\)
Fonction définie par : $$L_X:\begin{align}{\Bbb R}_+&\longrightarrow[0,1]\\ \lambda&\longmapsto{\Bbb E}[e^{-\lambda X}]\end{align}$$

• \(L_X\) est continue et décroissante
• valeurs prises aux bornes : \(L_X(0)=1\) et \(\displaystyle\lim_{\lambda\to+\infty} L_X(\lambda)={\Bbb P}(X=0)\)
• propriété importante : caractérise la Loi de \(X\) parmi celles des variables aléatoires positives
• sur \(]0,+\infty[\), \(L_X\) est \(\mathcal C^\infty\) et pour \(\lambda\gt 0\), \(L_X^\prime(\lambda)=-{\Bbb E}[Xe^{-\lambda X}]\)
    
• la dérivée à droite de \(L_X\) en \(0\) est \(-{\Bbb E}[X]\)

Questions de cours

Montrer que \(L_X\) caractérise \({\Bbb P}_X\) parmi les lois de variables aléatoires positives.

Poser la fonction correspondante et regarder ses valeurs aux bornes et sa régularité.

Le Théorème de Stone-Weierstrass nous donne un résultat de Densité.

Pour vérifier l'unicité de la transformée de Laplace, on pose deux v.a. Qui ont la même.

Le résultat de densité précédent nous donne la coïncidence sur un ensemble assez grand pour nous faire dire que les deux lois coïncident également.